Download Eléments de Mathématique. Groupes et algèbres de Lie: by Nicolas Bourbaki PDF
By Nicolas Bourbaki
Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.
Ce troisième quantity du Livre sur les Groupes et algèbres de Lie, neuvième Livre du traité, poursuit l étude des algèbres de Lie et leurs représentations.
Il comprend les chapitres: 7. Sous-algèbres de Cartan, éléments réguliers; eight. Algèbres de Lie semi-simples déployées.
Ce quantity contient également un appendice sur l. a. topologie de Zariski.
Ce quantity est une réimpression de l édition de 1975.
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D'où la proposition. 5 5. Algèbres de Lie linéaires scindables Dans ce paragraphe, on suflpose k de caractéristique O. On désigne par V un espace vectoriel de dimension ,finie. 1. Algèbres de Lie linéaires scindables DÉFINITION 1. -Soit g une sous-algèbre de Lie de gl(V). On dit que g est scindable si g contient les composantes semi-simple et nilpotente de chacun de ses éléments (A, VII, 4 5, no 8). Exemples. - 1) Soient V' et V" des sous-espaces vectoriels de V tels que V" =, V'. L'ensemble des x E @(V)tels que x(V") c V' est une sous-algèbre de Lie scindable dc g[(V) ; en effet, pour tout x E gi(V), les composantes semi-simple et nilpotente de x sont de la forme P(x) et Q ( x ) , où P et Qsont des polynômes sans terme constant.
Pour tout h E H, on a Ad(h)gl c gl. Puisque [gl, g + ] c g + , il existe un voisinage U de e dans H tel que Ad(h)gf c g + pour tout h E U. Puisque la restriction de Ad(a) - 1 à g + est bijective, on peut choisir U de sorte que, pour tout h E U, la restriction de Ad(ah) - 1 à g soit bijective. On a alors g1 (ah) c g1 (a) = g1 pour tout h E U. D'après la proposition 4, Int(W) ( a u ) est un voisinage de a dans G. Si a' E Int(W)(aU), alors a' = g(ah)g-l avec g G W et h E U ; il en résulte que gl(a') = Ad(g)gl(ah) Ad(g)gl(a).
Pour qu'une application r: S + End(V) vérifie la condition (PC), il faut ct il sufit qu'il existe une puissance q de p telle que [sq, s ' ~ ]= O quels que soient s, s' E S. (Utiliser 1, 3 1, exerc. 19, formule (1)). 2) O n suppose k parfait. Soient V un espace vectoriel de dimension finie, et u, v E End V. Soient us, un, v,, v, les composantes semi-simples et nilpotentes de u, v. Lcs conditions suivantes sont équivalentes: (i) il existe un entier m tel que (ad u)"v = O ; (ii) us r t u commutent.