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By Jürg T. Marti (auth.)
Der Autor beabsichtigt, mit dem vorliegenden Lehrbuch eine gründliche Einführung in die Theorie der konvexen Mengen und der konvexen Funk tionen zu geben. Das Buch ist aus einer Folge von drei in den Jahren 1971 bis 1973 an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich gehaltenen Vorlesungen hervorgegangen. Es erläutert die verschiedenen, für viele Sparten der research, der angewandten Mathematik und der mathematischen Ökonomie relevanten Aspekte der Konvexität. Die konvexe research ist, wie die lineare Algebra, ein Gebiet der Mathematik, welches neben der analytischen Beschreib- und Beweisbarkeit oft auch eine hohe geometrische Anschaulichkeit besitzt. quick die meisten der hier be schriebenen Ergebnisse über konvexe Mengen und Funktionen gehören offen sichtlich der reinen Mathematik an. Es ist aber auffallend, wie häufig diese Ergebnisse die Gundiage, nicht nur von Teilen der höheren research, sondern auch von Theorien und Methoden der angewandten Mathematik bilden. Einiges Gewicht wird deshalb in diesem Lehrbuch darauf gelegt, zu zeigen, wie die Resultate ausserhalb des Gebietes Anwendung finden, z. B. in der reinen Mathematik bei Existenzsätzen für lineare und nichtlineare Differential-oder Integralgleichungen, in der angewandten Mathematik für die Approximations theorie oder in der mathematischen Ökonomie für Existenzaussagen über Minima konvexer Funktionen und über Lösungen von Systemen von Ungleichungen. Um die Allgemeingültigkeit vieler fundamentaler Resultate nicht zu schmälern, wurde darauf geachtet, die entsprechenden Voraus setzungen an die Topologie und Strukturen der Räume so schwach wie möglich zu halten.
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H. • , xn }, auch im endlich dimensionalen Teilvektorraum sp {XI, ••• , xn } von E. Damit ist conv {XI, ••. , xn } in diesem Teilvektorraum präkompakt. Es gibt also endlich viele Punkte ZI, ... ,zp in conv {XI, ... , xn } so, dass conv{xI, ... , Xn}c{ZI, ••• , zp}+ W. Daraus folgt schliesslich mit (6) und (7), dass conv Xc{ZI, ... , zp}+ V, d. h. conv X ist präkompakt in E. 0 Koronar 10. Ist E vollständig und lokalkonvex und ist Xc E präkompakt, so ist die Menge conv X kompakt in E. Beweis. Nach dem vorangehenden Satz ist conv X präkompakt in E.
Beweis. Es sei XE ext conv X. Dann ist XE conv X. x lässt sich deshalb für k 2: 2 als konvexe Kombination von k (nicht notwendigerweise verschiedenen) Elementen Xl, ... ,Xk aus X darstellen: k x= L tiXi· i=l Ohne Verlust an Allgemeinheit können wir verlangen, dass alle ti positiv sind. Da k Lt= 1 i i=l und k 2: 2 ist, muss tl < 1 sein. Also erhält man + L tiXi k X = tlXl i=2 Da L _t_ =1, k i i=2 1- t l L (tJ(lk gehören Xl und tl»)Xi zu conv X. Wegen XE ext conv X muss schlies- i=2 slich x mit Xl zusammenfallen, was zeigt, dass x E X.
Es seien E lokalkonvex, X und Y disjunkte konvexe Teilmengen von E, X abgeschlossen und Y kompakt. Dann existiert ein f in E', das X und Y stark trennt. Beweis. 2 folgen). OGISCHEN VEKTOR RÄUMEN Oe Y - X, es gibt also eine konvexe und von Y - X disjunkte Nullumgebung V von E. Natürlich ist 0 ein innerer Punkt von V. Nach dem vorangehenden Korollar gibt es nun ein f# 0 in E' das V und Y - X trennt. Es sei jetzt XE E so, dass f(x) = 1. Weil f linear ist und V absorbierend, folgt dann für ein e > 0, dass eX E V, also e f(ex) = E f(V).