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By Prof. Matthias Beck, Prof. Sinai Robins (auth.)
Das Gebiet des "Zählens von Gitterpunkten in Polytopen", auch Ehrhart-Theorie genannt, bietet verschiedene Verbindungen zu elementarer endlicher Fourier-Analysis, Erzeugendenfunktionen, dem Münzenproblem von Frobenius, Raumwinkeln, magischen Quadraten, Dedekind-Summen, algorithmischer Geometrie und mehr. Die Autoren haben mit dem Buch einen roten Faden geknüpft, der diese Verbindungen aufzeigt und so die grundlegenden und dennoch tiefgehenden Ideen aus diskreter Geometrie, Kombinatorik und Zahlentheorie anschaulich verbindet.
Mit 250 Aufgaben und offenen Problemen fühlt sich der Leser als aktiver Teilnehmer, und der einnehmende Stil der Autoren fördert solche Beteiligung. Die vielen fesselnden Bilder, die die Beweise und Beispiele begleiten, tragen zu dem einladenden Stil dieses einzigartigen Buches bei.
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Ad sei R := {m1 a1 + m2 a2 + · · · + md ad : m1 , m2 , . . , md ∈ ≥0 } die Menge aller durch a1 , a2 , . . , ad darstellbaren ganzen Zahlen. Zeigen Sie, dass p(z) r(z) := zk = (1 − z a1 ) (1 − z a2 ) · · · (1 − z ad ) k∈R f¨ ur ein Polynom p. 35. 1: Zu jeder rationalen Funktion Qm p(z) ek , wobei k=1 (z−ak ) p ein Polynom von kleinerem Grad als e1 + e2 + · · · + em ist und die ak s verschieden sind, gibt es eine Zerlegung m k=1 ck,1 ck,2 ck,ek + + ···+ e 2 z − ak (z − ak ) k (z − ak ) , wobei die ck,j ∈ eindeutig bestimmt sind.
30. 31. ♣ F¨ ur A = {a1 , a2 , . . , ad } ⊂ p◦A (n) := # (m1 , . . h. p◦A (n) z¨ ahlt die Anzahl der Partitionen von n mit Elementen von A als Teilen, wobei jedes Element mindestens einmal verwendet wird. Finden Sie Formeln f¨ ur p◦A f¨ ur A = {a}, A = {a, b}, A = {a, b, c} und A = {a, b, c, d}, wobei a, b, c und d paarweise teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Beachten Sie, dass in allen Beispielen die Z¨ ahlfunktionen pA und p◦A die algebraische Gleichung p◦A (−n) = (−1)d−1 pA (n) erf¨ ullen.
4 Die Bernoulli-Polynome als Gitterpunktz¨ ahler von Pyramiden 37 x3 x1 x2 Abb. 4. Z¨ ahlen der Gitterpunkte in t Pyr(Q). , und schließlich LQ (t) Gitterpunkte mit xd = 0. 4 zeigt den Fall t = 3 f¨ ur eine Pyramide u ¨ ber einem Quadrat. 4. EhrPyr(Q) (z) = EhrQ (z) . 1−z Beweis. ⎛ t≥1 zt + t≥1 j=1 t≥0 = LQ (j) z t = 1 + 1−z j LQ (j) j≥1 z = 1−z 1 + 1−z 1+ LQ (j)⎠ z t j=1 t≥1 t = ⎝1 + LPyr(Q) (t) z t = 1 + EhrPyr(Q) (z) = 1 + ⎞ t zt LQ (j) j≥1 j j≥1 LQ (j) z 1−z t≥j . Unsere Pyramide P, mit der dieser Abschnitt angefangen hat, ist eine Pyramide u urfel, so dass ¨ber dem (d − 1)-Einheitsw¨ EhrP (z) = 1 1−z d−1 k=1 A (d − 1, k) z k−1 = (1 − z)d d−1 k=1 A (d − 1, k) z k−1 .