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By Heinz Lüneburg
Unter Verzicht auf alles Räumliche wird hier die ebene euklidische Geometrie aufgebaut, indem mit der Untersuchung von beliebigen projektiven und affinen Ebenen begonnen, dann aber sehr rasch zu Ebenen übergegangen wird, die von kommutativen Körpern koordinatisiert werden. In affinen Ebenen wird die Mittelpunktsrelation studiert, die erstaunliche Konsequenzen hat, sowie Orthogonalitätsrelationen und das Winkelhalbieren. Ist das Winkelhalbieren immer möglich, so trägt der Koordinatenkörper eineAnordnung, so dass guy schon sehr nahe bei der euklidischen Ebene ist. Kegelschnitte werden ebenfalls gründlich untersucht. Sind Gerade durch innere Punkte stets Sekanten, so impliziert dies ebenfalls die Anordenbarkeit des Koordinatenkörpers und noch mehr, so dass auch dieses uns in die Nähe der Ebene über den reellen Zahlen bringt. Zum Schluss, im siebten Kapitel, wird dann gezeigt, welche geometrischen Eigenschaften dazu dienen können, die reelle Ebene unter allen übrigen affinen Ebenen auszuzeichnen.
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Der Autor beabsichtigt, mit dem vorliegenden Lehrbuch eine gründliche Einführung in die Theorie der konvexen Mengen und der konvexen Funk tionen zu geben. Das Buch ist aus einer Folge von drei in den Jahren 1971 bis 1973 an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich gehaltenen Vorlesungen hervorgegangen.
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- Classical Mechanics: Theory and Mathematical Modeling
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- An Introduction to the Geometry of N Dimensions
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Es seien Q und R verschiedene Punkte von A mit (Q+R) ngoo = P. ) Weil A Translationslationsebene ist, gibt es ein T E E(goo) mit QT = R. Wegen Q =I- Rist T =I- 1. Daher hat T genau ein Zentrum und dieses liegt auf goo. Es sei C das Zentrum von T. Dann ist (Q + C) T = Q + C und folglich QT I Q + C. Hieraus folgt 31 1. 'J1ranslationsebenen Dies hat schließlich P = goo n (Q + R) = goo n (Q + C) = C zur Folge. Somit gilt a). 2 genau ein Zentrum hat. Hieraus folgt unmittelbar c): Sind nämlich X, Y E 1f und ist X i- Y, so gibt es zwei Punkte P und Q aufg oo mit X = r(P,goo) und Y = r(Q,goo).
Definition. Es sei V ein K-Rechtsvektorraum, f sei eine Abbildung von V x V in Kund a sei ein Antiautomorphismus von K. Wir nennen feine aSemibilinearform von V, falls gilt: (a) Es ist f(u + v, w) = f(u, w) + f(v, w) für alle u, v, w E V. (b) Es ist f(u, v + w) = f(u, v) + f(u, w) für alle u, v, w E V. (c) Es ist f(uk,v) = kaf(u,v) für alle u, v E V und alle k E K. (d) Es ist f(u, vk) = f(u, v)k für alle u, v E V und alle k E K. 10. Definition. Es sei V ein Rechtsvektorraum vom Rang 3 über dem Körper K.
Konstruktion. Ist G eine Gruppe und ist 7r eine Partition von G, so konstruieren wir die Inzidenzstruktur 7r( G) wie folgt: a) Die Punkte von 7r(G) sind die Elemente von G. b) Die Geraden von 7r(G) sind die Rechtsrestklassen Ux mit U E 7r und x E G. c) Es ist x I Uy genau dann, wenn xE Uy ist Es gilt nun der folgende, wichtige Satz. 9. Satz (J. Andre). Ist 7r eine Kongruenz von G, so gilt: a) 7r( G) ist eine Translationsebene. b) G ist zur Translationsgruppe von 7r( G) isomorph. c) G ist abelsch.