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By Albert Monjallon
Die ständige Entwicklung der Wissenschaft, deren Ergebnisse die Welt immer schneller verändern, hat wahrscheinlich bei Dmen Verwunderung hervorgerufen, die nicht ohne Angst geblieben ist. Sicher haben Sie an die bedeutende Rolle ge dacht, die die Mathematik dabei spielt. In keinem Bereich ist sie unentbehrlich: Flugwesen und Schiffahrt, Eisenbahn-und Kraftverkehr, Bergwerke und Bohrwesen, hydraulische und nukleare Energiegewinnung stehen ständig unter ihrem Einfluß. Die Wissenschaftler sind nicht damit zufrieden, von der Entwicklung der Sterne bis zum Verhalten der Elektronen nur alles zu verstehen und zu erklären, sondern sie bemühen sich mit der Hilfe der Mathematik, immer größere Kraftquellen zu ent decken, zu untersuchen und nutzbar zu machen. So öffnet sich den jungen Wissen schaftlern unserer Tage wie früher den jungen Abenteurern der Zeit der großen Ent deckungen ein Bereich mit fesselnden Arbeiten und fruchtbaren Forschungen. In der Schule sind Sie mit der Arithmetik, der Algebra, der Elementargeometrie bekannt geworden. Wenn Sie ein gewisses Interesse für Abstraktion haben, bewun dern Sie wahrscheinlich die Eleganz dieser Wissenschaft und hoffen, den magischen "Sesam" zu fmden, der alle Türen des Wissens für Sie öffnen wird. Aber vielleicht haben Sie auch im Laufe Ihres Studiums - das haben wir alle durchgemacht - eine gewisse Entmutigung erlebt, als die Mathematik Du Aufnahmevermögen zu über steigen und Ihre Anstrengungen zu Fall zu bringen schien.
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Dnter allen Verbrechen, welche das Strafgesetzbuch kennt, ist das furchtbaTste del' Mord, die planmassige, uberlegte VeT nichtung eines Menschenlebens; zugleich aber ist der Marder von allen VeTbTechern derjenige, welcher am wenigsten und kaum jemals Anspruch auf das Mitgefuhl seiner Nebenmenschen er heben darf.
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Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer e-book data mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen.
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Es können jedoch noch eine Reihe anderer Beziehungen bestehen. Einige davon wollen wir nun anfUhren. Es ist zu beachten, daß alle diese Untersuchungen in etwa derselben Weise beginnen: U sei eine Menge, die wir Universalmenge nennen. Von einer im Folgenden auftretenden Variablen wird stillschweigend angenommen, daß sie entweder ein in U enthaltenes Objekt oder eine in U enthaltene Untennenge bezeichne. In einer Untersuchung über die ganzen Zahlen zum Beispiel sei U die Gesamtheit dieser Zahlen.
Die erste Behauptung bedarf keines Kommentars, sie ist klar. Die zweite und dritte Behauptung sind weniger evident. 5. Das Komplement einer Menge tation und beweisen anschließend die Sätze. Diese Gesetze sind von dem englischen Mathematiker de Morgan gefunden worden 1). Der erste Satz drückt aus, daß die Komplementbildung bei Mengen analog der Bildung des Inversen einer ganzen Zahl ist. Diese Analogie ist jedoch schwach und gestattet keine Erweiterung. Wir zeigen die Gültigkeit des zweiten Satzes zuerst an einem Beispiel.
X sei ein Ausdruck der aus Namen fiir Mengen und den Zeichen n und U zusammengesetzt ist d (X) sei die zu X duale Aussage. Wenn zum Beispiel X = D n (B U C'), so ist d (X) = D' U (B' n C). Man beweise die Aussage X = d (d (X». 27. Mit der Bezeichnungsweise wie in Übung 26 zeige man, daß ein Ausdruck X, der eine der folgenden Relationen erfüllt, zu sich selber dual ist: a) X~d{X); b) X~d{X); d) X=d{X). 28. Man gebe die I