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By Schmidt D.
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Modellierung und Simulation von IT-Dienstleistungsprozessen
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Ärzte, Zahnärzte und andere Selbstständige in Heilberufen beklagen sich immer häufiger über unbezahlte Patientenrechnungen. Während andere Unternehmer offene Forderungen schnell und effektiv durchsetzen können, müssen Ärzte zahlreiche standes- und berufsrechtliche Vorschriften beachten. Besondere Probleme bereitet in diesem Zusammenhang die ärztliche Schweigepflicht.
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Wie gezeigt wurde, relaxiert die chemische Kinetik sehr schnell auf Zustande, die auf der Mannigfaltigkeit liegen. Nach sehr kurzer Zeit sind also Punkte erreicht, fur die die Mannigfaltigkeit wieder de niert ist, von der sich dann das System nicht mehr herunterbewegt. Schwierigkeiten konnen an Punkten auftreten, an denen die Mannigfaltigkeit zwar de niert ist, der errechnete Zustand aber physikalisch sinnlos ist. In Abb. B. Speziesmassenbruche negativ werden konnen. dargestellt. In der rechte Bildhalfte ist die Mannigfaltigkeit eindeutig de niert und kann numerisch bestimmt werden.
3 der Mannigfaltigkeiten zu uberprufen. Analytisches Beispiel Betrachtet werden soll in einem einfachen aber doch genug komplexen Beispiel die Methode der intrinsischen niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 3. INTRINSISCHE NIEDRIG-DIMENSIONALE MANNIGFALTIGKEITEN 0x1 ~ = @ y A 0 , a1 + a2 x 1 F = @ a1x , by + cz A : z a2x + by , cz 0 ,a1 , a2 0 0 1 J = @ a1 ,b c A a2 b ,c Die Jacobimatrix ist mit den Eigenwerten den rechten Eigenvektoren 1 = 0 ~ ~ 2 = ,b , c 3 = ,a1 , a2 ; 001 001 0 ,a ,a +b+c 1 a ,b ~u1 = @ cb A ~u2 = @ ,1 A ~u3 = @ aa ,,cb A 1 1 2 2 1 2 1 1 und den linken Eigenvektoren ~uL1 = b+b c b+b c b+b c , ~uL2 = b+c a,ab,,aa c+b+c b,+bc ~uL3 = ,a ,a a,+b b+c 0 0 : 1 1 c b+c 2 2 2 1 Die Diagonalmatrix erhalt man zu 2 00 D = U ,1JU = @ 0 0 0 ,b , c 0 0 0 ,a1 , a2 1 A: Die Transformation in die Eigenvektorbasis U ~ = ~ liefert 0 1 0 ~_ = U ~_ = UJ ~ = UJU ,1~ = D~ = @ , a1 + a2 2 A , b + c 3 mit der analytische Losung in der Eigenvektorbasis 0 x0 1 ~ t = @ y0e, b+c t A : z0 e, a +a t Rucktransformation in die ursprungliche Basis U ~ = ~ ergibt 1 2 1 0 x t 1 0 ,a ,a +b+c z0 e, a +a t a ,b ~ t = @ y t A = B @ cb x0 + y0e, b+c t , aa ,,cb z0e, a +a t CA : 1 2 1 2 2 z t 1 2 1 2 x0 + y0e, b+c t + z0e, a1 +a2 t Die Integrationskonstanten ergeben sich aus 0 x0 1 @ y0 A = U ~0 : z0 Das chemische Gleichgewicht stellt sich fur t !
Aber man sieht, da betragsmaig stark negative Eigenwerte fur eine schnelle Relaxation im Reaktionssystem verantwortlich sind. In Abb. 8 ist ein Eigenwertspektrum fur ein Knallgas-System mit 8 Spezies uber eine laminare vorgemischte ache Flamme aufgetragen. 8: Eigenwertspektrum der Knallgas-Reaktionen in einer vorgemischten achen laminaren Flamme. uber die zeitliche Entwicklung der Auslenkung. Fur negative Eigenwerte geht die Auslenkung in den zugehorigen charakteristischen Richtungen im Reaktionsraum Eigenvektoren zu den jeweiligen Eigenwerten zuruck.