Download Análisis básico de variable compleja by JERROLD E. MARSDEN PDF

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2. ez es una función uno a uno y sobre en C\lüJ. 3. ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 43 . 5 En la demostración de la proposición también se dedujo una expresión implícita para la inversa de eZ, restringida a la banda y0 $; Im z'< y0 + 2n y esta ex­ presión es enunciada formalmente en la siguiente definición. 6. La función log: C\(0) � C, con rango Yo$; Im log z < está definida como log z = log lzl + donde arg z toma valores en el intervalo y0 [ , del número real positivo lzl. Yo + 2n, i arg z, Yo+ 2n[ y log lzl es el logaritmo usual Algunas veces, esta función es referida como "la rama de la función logarit­ mo en x [ + iy 1y0 $; y< y0 + 2n)".

0, 2n[. Sin embargo, si el intervalo especificado es i log ff+ z en el cual sus valores, esto es, cuando se elige una rama específica. Por ejemplo, supóngase-que �1 intervalo especificado es + 2n Entonces log( l + i) = log [2 [n, 3n[, entonces log (1 + i) = i9n/4. Cualquier rama del logaritmo definida de esta forma sufre un salto repentino conforme z se mueve a través del rayo arg puede restringir el dominio a y 0 < y< y 0 + 2n. z = y0. 6. 7. log z es la inversa de ez en el siguiente sentido: Para cualquier rama de log z, tenemos que e lo g z

Si Ua es una cubierta abierta de f( K), entonces j- 1 ( UJ forma una cubierta abierta de K. La selección de una subcubierta finita nos da. K) e u U ¡ U • • • U u ak· . 20. Teorema del valor extremo. Si K es un conjunto compacto y f : K � R es continua, entonces f alcanza sus valores máximo y m ínimo, y ambos son finitos. Demostración. La imagen f( K) es un compacto, por ende cerrado y acotado. Puesto que es acotado, los números M = sup \ J( z) 1 z E K J y m = inf \ J( z) 1 z son finitos. Ya quef(K) es cerrado, m y M están incluidos enf(K).