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By Horst Werkle
Die Finite point Methode ist heute ein Standardverfahren zur Berechnung von Stab- und Flächentragwerken im konstruktiven Ingenieurbau mit Hilfe des desktops. Ihre sachgemäße Anwendung erfordert das Verständnis der Grundlagen der Methode sowie gute Kenntnisse in der Modellierung des Tragwerks. Dieses Buch will beides vermitteln. Der didaktisch sehr gute Aufbau des Buches, unterstützt durch viele aussagefähige Beispiele, macht das Erlernen und Anwenden der Finite aspect Methode einfach möglich.
Die three. Auflage wurde aktualisiert und um das Kapitel der nichtlinearen Finite-Element-Berechnungen erweitert. Neu ist auch die Behandlung der Wölbkrafttorsion. Wesentlich erweitert wurde das wichtige Kapitel zur Modellbildung von Tragwerken.
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31b) die Vektoren δ ( k ) und γ ( k ) berechnet. 35b) ermittelt. 36a) bedeutet. 32) durchgeführt werden. 3] gegeben. BFGS-Verfahren Start: 1. Aufstellen des Startvektors x (0) (Verschiebungsvektor): x (0) = 0 beziehungsweise Vektor am Ende des letzten Lastschrittes 2. 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 53 −1 (0) ( AQN ) 3. Inversion der Matrix: ( = AT ( x (0) ) −1 ) 4. ): 1. Verbesserung der Lösung durch Linienhaftes Suchen: Iterationsschritte zur Ermittlung von β : –Wahl von β ≤ 1 –Ermittlung einer neuen Lösung x ( k ) = x ( k− 1) + β ⋅ ∆ x –Ermittlung des zugehörigen Fehlers F (k ) = b − f ( x(k ) ) –Ü berprüfung des Konvergenzkriteriums ∆ xT ⋅ F ( k ) ≤ ε LS ⋅ ∆ xT ⋅ F ( k− 1) (falls das Kriterium nicht erfüllt ist: Neue Wahl von β ) 2.
25) wird mit dem Startwert x(0) = 0 und der Abbruchbedingung ( x ( k ) − x ( k− 1) ) / x ( k ) < 10− 3 durchgeführt. 109 ∆x (k ) x (k ) Der erste Iterationsschritt ist identisch mit dem Sekantenverfahren und dem Newton-RaphsonVerfahren. 15) 11 Iterationsschritte erforderlich waren. 999⋅105). 48 1 Matrizenrechnung Um auch ohne Neuaufbau der Steifigkeitsmatrix in jedem Iterationschritt die Konvergenz zu beschleunigen, wurden Verfahren entwickelt, die als beschleunigte Modifizierte NewtonRaphson-Verfahren bezeichnet werden.
Ein solches Verfahren ist das Adaptive-Descent(k ) Verfahren. Bei diesem setzt sich die für die Iteration verwendete Steifigkeitsmatrix A AD aus (k ) einem Anteil der Tangenten-Matrix AT und einem Anteil der Sekanten-Matrix A( k ) zu- sammen. 30) Die Gewichtungsfaktoren ξ beziehungsweise (1− ξ ) werden in Abhängigkeit vom Konvergenzverhalten der Lösung bei der Iteration bestimmt. Bei Konvergenzschwierigkeiten wird der Faktor ξ erhöht, um die Iteration mit einer „steiferen“ Matrix durchzuführen.